add comment about LMG

Author: ksenmel

tex/Multiple_Context-Free_Languages.tex

@@ -19,7 +19,7 @@
       $$
       \begin{itemize}
         \item $A$ --- нетерминал ранга $k$, $B_i$ --- нетерминалы ранга $k_i$, $n \leq r$;
-        \item Все $x^i_j$ попарно различны (переменные)
+        \item Все $x^i_j$ попарно различны (переменные). Если опустить это ограничение, то получаем LMG грамматику.
         \item Строки $s_i \in (\Sigma \cup X)^*, X = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{k_i} {x^i_j}$
         \item Каждая $x^i_j$ встречается не более одного раза в последовательности $s_1,\ldots, s_k$. Если допустить несколько вхождений, то это PMCFG.
       \end{itemize}
@@ -195,3 +195,30 @@ \section{Иерархии внутри MCFL}
      \caption{Иерархия по $r$}
     \label{fig:mcfg_hierarachy_2}
 \end{figure}
+
+Про MIX и $O_n$
+
+\begin{itemize}
+    \item $mix = \{\omega \in \{a,b\}^* \mid |\omega|_a = |\omega|_b \}$ --- контекстно-свободный язык
+
+    \item $MIX = \{\omega \in \{a,b,c\}^* \mid |\omega|_a = |\omega|_b = |\omega|_c\}$ --- MCFL? Хотелось верить, что нет
+    \begin{itemize}
+      \item \href{https://hal.inria.fr/inria-00564552/document}{MIX is a 2-MCFL and the word problem in $\mathbb{Z}^2$ is solved by a third-order collapsible pushdown automaton, Sylvain Salvati, 2011}~\cite{salvati:inria-00564552}
+    \end{itemize}
+    \item $O_2=\{\omega \in \{a,\overline{a},b,\overline{b}\}^* \mid |\omega|_a=|\omega|_{\overline{a}} \wedge |w|_b=|w|_{\overline{b}}\}$
+    \item $O_n=\{\omega \in \{a_1,\overline{a_1},a_2,\overline{a_2},\ldots,a_n,\overline{a_n}\}^* \mid |\omega|_{a_1}=|\omega|_{\overline{a_1}} \wedge |w|_{a_2}=|w|_{\overline{a_2}} \wedge \cdots \wedge |w|_{a_n}=|w|_{\overline{a_n}}\}$
+    \item $MIX_n = \{\omega \in \{a_1,\ldots,a_n\}^* \mid |\omega|_{a_1} = |\omega|_{a_2} =\cdots = |\omega|_{a_n}\}$
+    \item $MIX_n$ регулярно эквивалентен $O_n$ (существует алгоритм построения грамматики одного языка по грамматике другого)
+    \begin{itemize}
+      \item \href{https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01771670/document}{$O_n$ is an n-MCFL, Sylvain Salvati, 2018}~\cite{GEBHARDT202241}
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}
+
+  \begin{itemize}
+    \item Варианты леммы о накачке
+    \item Представимость конкретных языков
+    \begin{itemize}
+      \item Многомерный язык Дика: \href{https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-59620-3_5}{Towards a 2-Multiple Context-Free Grammar for the 3-Dimensional Dyck Language, Konstantinos Kogkalidis, Orestis Melkonian, 2019}~\cite{10.1007/978-3-662-59620-3_5}
+      \item Шафл языков Дика: \href{https://dl.acm.org/doi/10.1145/3093333.3009848}{Context-sensitive data-dependence analysis via linear conjunctive language reachability, Qirun Zhang, Zhendong Su et al, 2017}~\cite{10.1145/3009837.3009848}
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}