word change

Author: ChristinaAndrinopoyloy

Homework_6/homework.pdf

@@ -111,10 +111,10 @@ \subsection*{1. Define the 0-1 knapsack problem.}
 όπου \(x_{j}\) είναι μία δυαδική μεταβλητή που δηλώνει αν έχουμε τοποθετήσει το \(j\)-οστό αντικείμενο στο σακίδιο.
  
  \[ x_{j} = 
- \begin{cases} 
- 	1 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο τοποθετηθεί στο σακίδιο} \\
+ \begin{cases} 
+ 	1 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο τοποθετηθεί στο σακίδιο} \\
  	0 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο ΔΕΝ τοποθετηθεί στο σακίδιο}
- \end{cases}
+ \end{cases}
  \]
 \\ \\
 Χβτγ κάνουμε τις εξής παραδοχές: \\
@@ -139,9 +139,11 @@ \subsection*{2. Give a dynamic programming solution to the 0-1 knapsack problem.
 
 Μία εναλλακτική τεχνική για την επίλυση του 0-1 Knapsack problem είναι ο δυναμικός προγραμματισμός. \\ \\
 
-Ο δυναμικός προγραμματισμός χρησιμοποιείται για τηνεπίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Πρόκειται για μία μέθοδο επίλυσης προβλημάτων μέσω του συνδυασμού των λύσεων κάποιων υποπροβημάτων. Εφαρμόζεται όταν τα διάφορα υποπροβλήματα επκαλύπτονται. Ο δυναμικός προγραμματισμός (σε αντίθεση με άλλες τεχνικές, όπως το "διαίρει και κυρίευε") επιλύει το κάθε υποπρόβλημα μόνο μία φορά και το αποθηκεύει σε ένα πίνακα, έτσι ώστε να μη χρειαστεί να υπολογίσει ξανά τη λύση του ίδιου υποπροβλήματος. \\ \\
+Ο δυναμικός προγραμματισμός χρησιμοποιείται για την
+επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Πρόκειται για μία μέθοδο επίλυσης προβλημάτων μέσω του συνδυασμού των λύσεων κάποιων υποπροβημάτων. Εφαρμόζεται όταν τα διάφορα υποπροβλήματα επκαλύπτονται. Ο δυναμικός προγραμματισμός (σε αντίθεση με άλλες τεχνικές, όπως το "διαίρει και κυρίευε") επιλύει το κάθε υποπρόβλημα μόνο μία φορά και το αποθηκεύει σε ένα πίνακα, έτσι ώστε να μη χρειαστεί να υπολογίσει ξανά τη λύση του ίδιου υποπροβλήματος. \\ \\
 
-Θεωρούμε το υποπρόβλημα 0-1 Knapsack που αποτελείται από τα αντικείμενα 1, 2, ..., m και τη χωρητικότητα c, όπου \(1 \leq m \leq n\) και \(0 \leq c \leq C\). Το πρόβλημα διασπάται σε n υποπροβλήματα. Το m αυξάνεται, παίρνοντας τιμές από το 1έως το n και σε κάθε υποπρόβλημα m, υπολογίζεται η τιμή \(f_{m}(c)\) καθώς το
+Θεωρούμε το υποπρόβλημα 0-1 Knapsack που αποτελείται από τα αντικείμενα 1, 2, ..., m και τη χωρητικότητα c, όπου \(1 \leq m \leq n\) και \(0 \leq c \leq C\). Το πρόβλημα διασπάται σε n υποπροβλήματα. Το m αυξάνεται, παίρνοντας τιμές από το 1
+έως το n και σε κάθε υποπρόβλημα m, υπολογίζεται η τιμή \(f_{m}(c)\) καθώς το
 c μεγαλώνει από το 0 έως το C. \\ \\
 
 Η βέλτιστη λύση για αυτό το στιγμιότυπο είναι: 
@@ -154,10 +156,10 @@ \subsection*{2. Give a dynamic programming solution to the 0-1 knapsack problem.
 και ισχύει ότι
 
  \[ f_{m}(c) = 
-\begin{cases} 
-f_{m-1}(c) & \text{ για } c = 0,...,w_{m}-1 \\
+\begin{cases} 
+f_{m-1}(c) & \text{ για } c = 0,...,w_{m}-1 \\
 \max \left( f_{m-1}(c), f_{m-1}(c-w_{m}) + p_{j} \right) & \text{ για } c = w_{m},...,C
-\end{cases}
+\end{cases}
 \]
 
 Στη συνέχεια παραθέτουμε αλγόριθμο που επιλύει το 0-1 Knapsack: \\ \\
@@ -206,7 +208,7 @@ \subsection*{3. Give real world applications of knapsack problem.}
 \subsection*{4. Define the Subset sum problem and give a dynamic programming solution for
 	it. Write down the difference between the subset sum and the knapsack problem.}
 
-Το \(\textbf{Subset sum problem}\) είναι ένα πρόβλημα απόφασης στην υπολογιτική.... και την κρυπτογραφία. Υπάρχουν πολλές εκδοχές για αυτό το πρόβλημα. Το Subset sum problem αναζητά το υποσύνολο από ένα σύνολο ακεραίων αριθμών, το οποίο αν αθροίσουμε τους αριθμούς του, το αποτέλεσμα που θα προκύψει να είναι 0. Το πρόβλημα αυτο NP-complete. Είναι εύκολο αν κάποιος μας δώσει την απάντηση σε ένα τέτοιο πρόβλημα να αποφανθούμε αν είναι valid ή όχι, αλλά είναι δύσκολο να τη βρούμε μόνοι μας. \\ \\
+Το \(\textbf{Subset sum problem}\) είναι ένα πρόβλημα απόφασης στη θεωρία πολυπλοκότητας και την κρυπτογραφία. Υπάρχουν πολλές εκδοχές για αυτό το πρόβλημα. Το Subset sum problem αναζητά το υποσύνολο από ένα σύνολο ακεραίων αριθμών, το οποίο αν αθροίσουμε τους αριθμούς του, το αποτέλεσμα που θα προκύψει να είναι 0. Το πρόβλημα αυτο NP-complete. Είναι εύκολο αν κάποιος μας δώσει την απάντηση σε ένα τέτοιο πρόβλημα να αποφανθούμε αν είναι valid ή όχι, αλλά είναι δύσκολο να τη βρούμε μόνοι μας. \\ \\
 
 Το Subset sum problem ή αλλιώς Value Independent Knapsack Problem ή Stickstacking Problem μπορεί να θεωρηθεί στιγμιότυπο του 0-1 Knapsack problem. Πρέπει να επιλέξουμε ένα υποσύνολο βαρών, τέτοιο ώστε το άθροισμά τους να είναι το μεγαλύτερο δυνατό και ταυτόχρονα να μην υπερβαίνει τη χωρητικότητα του σακιδίου. \\ \\
 
@@ -227,10 +229,10 @@ \subsection*{4. Define the Subset sum problem and give a dynamic programming sol
 με 
 
  \[ x_{j} = 
-\begin{cases} 
-1 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο τοποθετηθεί στο σακίδιο} \\
+\begin{cases} 
+1 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο τοποθετηθεί στο σακίδιο} \\
 0 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο ΔΕΝ τοποθετηθεί στο σακίδιο}
-\end{cases}
+\end{cases}
 \]
 
 Χβτγ ισχύει ότι: \\