Update graph representations and edge weights

Author: djeada

notes/graphs.md

@@ -69,10 +69,10 @@ An adjacency matrix represents a graph $G$ with $V$ vertices as a two-dimensiona
 **Same graph used throughout (undirected 4-cycle A–B–C–D–A):**
 
 ```
-        (A)------(B)
-         |        |
-         |        |
-        (D)------(C)
+(A)------(B)
+ |        |
+ |        |
+(D)------(C)
 ```
 
 **Matrix (table form):**
@@ -212,7 +212,10 @@ A graph is **planar** if it has **some** drawing in the plane with **no edge cro
 **Euler’s Formula (connected planar graphs):**
 
 $$
-|V| - |E| + |F| = 2 \quad
+|V| - |E| + |F| = 2
+$$
+
+$$
 \text{(for \(c\) connected components: } |V|-|E|+|F|=1+c)
 $$
 
@@ -254,11 +257,12 @@ No crossings; faces: 2 (inside + outside).
 A planar embedding places one vertex inside a triangle:
 
 ```
-    A
-   / \
-  B───C
-   \ /
-    D
+#
+  A
+ / \
+B───C
+ \ /
+  D
 ```
 
 All edges meet only at vertices; no crossings.
@@ -273,8 +277,8 @@ A───B
 │ ╳ │   (some crossing is unavoidable)
 │╱ ╲│
 D───C
-  \ /
-   E
+ \ /
+  E
 ```
 
 The edge bound $10>9$ (above) certifies non-planarity.
@@ -388,16 +392,17 @@ BFS(G, i):
 Graph (undirected) with start at **A**:
 
 ```
-           ┌─────┐
-           │  A  │
-           └──┬──┘
-          ┌───┘ └───┐
-        ┌─▼─┐     ┌─▼─┐
-        │ B │     │ C │
-        └─┬─┘     └─┬─┘
-        ┌─▼─┐     ┌─▼─┐
-        │ D │     │ E │
-        └───┘     └───┘
+#
+   ┌─────┐
+   │  A  │
+   └──┬──┘
+  ┌───┘ └───┐
+┌─▼─┐     ┌─▼─┐
+│ B │     │ C │
+└─┬─┘     └─┬─┘
+┌─▼─┐     ┌─▼─┐
+│ D │     │ E │
+└───┘     └───┘
 
 Edges: A–B, A–C, B–D, C–E
 ```
@@ -539,20 +544,21 @@ DFS_iter(G, i):
 Same graph as the BFS section, start at **A**; assume neighbor order: `B` before `C`, and for `B` the neighbor `D`; for `C` the neighbor `E`.
 
 ```
-                 ┌─────────┐
-                 │    A    │
-                 └───┬─┬───┘
-                     │ │
-           ┌─────────┘ └─────────┐
-           ▼                     ▼
-      ┌─────────┐           ┌─────────┐
-      │    B    │           │    C    │
-      └───┬─────┘           └───┬─────┘
-          │                     │
-          ▼                     ▼
-     ┌─────────┐           ┌─────────┐
-     │    D    │           │    E    │
-     └─────────┘           └─────────┘
+#
+           ┌─────────┐
+           │    A    │
+           └───┬─┬───┘
+               │ │
+     ┌─────────┘ └─────────┐
+     ▼                     ▼
+┌─────────┐           ┌─────────┐
+│    B    │           │    C    │
+└───┬─────┘           └───┬─────┘
+    │                     │
+    ▼                     ▼
+┌─────────┐           ┌─────────┐
+│    D    │           │    E    │
+└─────────┘           └─────────┘
 
 Edges: A–B, A–C, B–D, C–E  (undirected)
 ```
@@ -725,19 +731,20 @@ reconstruct(parent, t):
 Weighted, undirected graph; start at **A**. Edge weights are on the links.
 
 ```
-                          ┌────────┐
-                          │   A    │
-                          └─┬──┬───┘
-                         4/   │1
-                       ┌──    │    ──┐
-                 ┌─────▼──┐  │     ┌▼──────┐
-                 │   B    │──┘2    │   C   │
-                 └───┬────┘        └──┬────┘
-                   1 │               4 │
-                     │                 │
-                 ┌───▼────┐      3  ┌──▼───┐
-                 │   E    │────────│   D   │
-                 └────────┘         └──────┘
+#
+          ┌────────┐
+          │   A    │
+          └─┬──┬──┬┘
+         4  │  │  │1
+       ┌────┘  │  └───┐
+ ┌─────▼──┐    │     ┌▼──────┐
+ │   B    │────┘2    │   C   │
+ └───┬────┘          └──┬────┘
+   1 │               4  │
+     │                  │
+ ┌───▼────┐      3   ┌──▼────┐
+ │   E    │──────────│   D   │
+ └────────┘          └───────┘
 
 Edges: A–B(4), A–C(1), C–B(2), B–E(1), C–D(4), D–E(3)
 ```
@@ -870,19 +877,20 @@ reconstruct(parent, t):
 Directed, weighted graph; start at **A**. (Negative edges allowed; **no** negative cycles here.)
 
 ```
-                               ┌─────────┐
-                               │    A    │
-                               └──┬───┬──┘
-                              4  │   │  2
-                                 │   │
-                      ┌──────────▼───┐   -1    ┌─────────┐
-                      │      B       │ ───────►│    C    │
-                      └──────┬───────┘          └──┬─────┘
-                           2 │                     5│
-                             │                      │
-                      ┌──────▼──────┐    -3    ┌───▼─────┐
-                      │      D       │ ◄────── │    E    │
-                      └──────────────┘          └─────────┘
+#
+        ┌─────────┐
+        │    A    │
+        └──┬───┬──┘
+         4 │   │  2
+           │   └───────────────┐
+┌──────────▼───┐   -1      ┌───▼─────┐
+│      B       │ ─────────►│    C    │
+└──────┬───────┘           └──┬──────┘
+     2 │                    5 │
+       │                      │
+┌──────▼──────┐    -3     ┌───▼─────┐
+│      D       │ ◄─────── │    E    │
+└──────────────┘          └─────────┘
 
 Also:
 A → C (2)
@@ -1222,21 +1230,22 @@ Prim(G, i):
 Undirected, weighted graph; start at **A**. Edge weights shown on links.
 
 ```
-                           ┌────────┐
-                           │   A    │
-                           └─┬──┬───┘
-                            4│  │1
-                             │  │
-                 ┌───────────┘  └───────────┐
-                 │                          │
-            ┌────▼────┐                ┌────▼────┐
-            │   B     │◄──────2────────│   C     │
-            └───┬─────┘                └─────┬───┘
-              1 │                          4 │
-                │                            │
-            ┌───▼────┐      3           ┌────▼───┐
-            │   E    │─────────────────▶│   D    │
-            └────────┘                  └────────┘
+#
+               ┌────────┐
+               │   A    │
+               └─┬──┬───┘
+                4│  │1
+                 │  │
+     ┌───────────┘  └───────────┐
+     │                          │
+┌────▼────┐                ┌────▼────┐
+│   B     │◄──────2────────│   C     │
+└───┬─────┘                └─────┬───┘
+  1 │                          4 │
+    │                            │
+┌───▼────┐      3           ┌────▼───┐
+│   E    │─────────────────▶│   D    │
+└────────┘                  └────────┘
 
 Edges: A–B(4), A–C(1), C–B(2), B–E(1), C–D(4), D–E(3)
 ```