Homework_6 figures + README

Author: billsioros

Homework_6/knapsack-example.png renamed to Homework_6/figures/knapsack-example.png

@@ -59,11 +59,11 @@
 \subsection*{1. Define the 0-1 knapsack problem.}
 
 Το knapsack problem είναι κλασσικό πρόβλημα βελτιστοποίησης. Υπάρχουν διαθέσιμα αντκείμενα, που το καθένα έχει συγκεκριμένη αξία και βάρος και διαθέσιμα σακίδια (ή ένα σακίδιο) και στόχος είναι να τοποθετηθούν τα αντικείμενα στο σακίδιο με τέτοιον τρόπο, ώστε να μεγιστοποιηθεί η συνολική αξία των αντικειμένων, χωρίς να παραβιαζεται η χωρητικότητα του σακιδίου. \\ \\
- 
+
 Έχει διάφορες παραλλαγές ως πρόβλημα, που σχετίζονται με την κατανομή των αντικειμένων και των σακιδίων. Σε κάποια είδη προβλημάτων σακιδίου τα αντικείμενα μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο μία φορά το καθένα, ενώ σε κάποια άλλα υπάρχει μια περιορισμένη ποσότητα από κάθε αντικείμενο. Επίσης, υπάρχει η δυνατότητα σε κάποια είδη προβλημάτων να επιλέξουμε κλάσματα αντικειμένων, ενώ σε άλλα είμαστε υποχρεωμένοι αν επιλέξουμε ένα αντικείμενο να το τοποθετήσουμε ολόκληρο στο σακίδιο. Τέλος, υπάρχει η παραλλαγή την πολλαπλής επιλογή του ίδιου αντικειμένου και η παραλλαγή που απαγορεύεται αυστηρώς να επιλέξουμε το ίδιο αντικείμενο δεύτερη φορά. \\  \\
 
 Μπορούμε να συνοψίσουμε τα είδη των knapsack προβλημάτων ως προς τη δυνατότητα επιλογής αντικειμένων ως εξής: \\
-\(\bullet\) \(\textbf{ακέραιο πρόβλημα σακιδίου}\) : \\ 
+\(\bullet\) \(\textbf{ακέραιο πρόβλημα σακιδίου}\) : \\
 Μπορόυμε να επιλέξουμε το κάθε αντικείμενο είτε αυτόυσιο, είτε να μην το πάρουμε καθόλου. Δε μπορούμε να πάρουμε κλάσμα του αντικειμένου. \\
 \(\bullet\) \(\textbf{κλασματικό πρόβλημα σακιδίου}\): \\
 Δεν είμαστε υποχρεωμένοι να επιλέξουμε τα αντικείμενα "διαζευκτικά". Μπορούμε να πάρουμε κλάσμα των αντικειμένων. \\
@@ -81,7 +81,7 @@ \subsection*{1. Define the 0-1 knapsack problem.}
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[scale=0.7]{./knapsack_problem.png}
+	\includegraphics[scale=0.7]{./figures/knapsack_problem.png}
 	\caption{Ποιά είναι η καλύτερη επιλογή αντικειμένων;}
 \end{figure}
 
@@ -101,17 +101,17 @@ \subsection*{1. Define the 0-1 knapsack problem.}
 
 \begin{align*}
 	\max \sum_{j=1}^{n}{p_{j}x_{j}}
-\end{align*}  
+\end{align*}
 υπό τον περιορισμό:
 
 \begin{align*}
 	\sum_{j=1}^{n}{w_{j}x_{j}} \leq C
 \end{align*}
 
 όπου \(x_{j}\) είναι μία δυαδική μεταβλητή που δηλώνει αν έχουμε τοποθετήσει το \(j\)-οστό αντικείμενο στο σακίδιο.
- 
- \[ x_{j} = 
- \begin{cases} 
+
+ \[ x_{j} =
+ \begin{cases}
  	1 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο τοποθετηθεί στο σακίδιο} \\
  	0 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο ΔΕΝ τοποθετηθεί στο σακίδιο}
  \end{cases}
@@ -124,7 +124,7 @@ \subsection*{1. Define the 0-1 knapsack problem.}
 	 w_{j} \geq 0 \\
 	 C \geq 0 \\
 	 w_{j} \leq c \\
-	 \sum_{j=1}^{n} w_{j} \geq C 
+	 \sum_{j=1}^{n} w_{j} \geq C
 \end{align*}
 
 \vspace{2in}
@@ -146,7 +146,7 @@ \subsection*{2. Give a dynamic programming solution to the 0-1 knapsack problem.
 έως το n και σε κάθε υποπρόβλημα m, υπολογίζεται η τιμή \(f_{m}(c)\) καθώς το
 c μεγαλώνει από το 0 έως το C. \\ \\
 
-Η βέλτιστη λύση για αυτό το στιγμιότυπο είναι: 
+Η βέλτιστη λύση για αυτό το στιγμιότυπο είναι:
 \begin{align*}
 	f_{m}(c) = \max {\sum_{j=1}^{m}{p_{j}x_{j}}} \text{ όπου } \\
 	\sum_{j=1}^{m}{w_{j}x_{j}} \leq c \\
@@ -155,8 +155,8 @@ \subsection*{2. Give a dynamic programming solution to the 0-1 knapsack problem.
 
 και ισχύει ότι
 
- \[ f_{m}(c) = 
-\begin{cases} 
+ \[ f_{m}(c) =
+\begin{cases}
 f_{m-1}(c) & \text{ για } c = 0,...,w_{m}-1 \\
 \max \left( f_{m-1}(c), f_{m-1}(c-w_{m}) + p_{j} \right) & \text{ για } c = w_{m},...,C
 \end{cases}
@@ -167,7 +167,7 @@ \subsection*{2. Give a dynamic programming solution to the 0-1 knapsack problem.
 \(\textbf{Βήμα 1:}\) \\
 Κατασκευάζουμε έναν πίνακα \((n+1) \times (c+1)\). Η γραμμή j υποδηλώνει ότι έχουμε στη διάθεσή μας μόνο αντικείμενα 1,...,j. Η στήλη i υποδηλώνει ότι έχουμε χωρητικότητα σακιδίου i. Συνεπώς, αν ονομάζουμε τον πίνακα Κ, τότε το Κ[j][i] στοιχείο του πίνακα είναι η μεγαλύτερη "αξία" που μπορούμε να αποκομίσουμε από τα αντικείμενα 1,...,j με σακίδιο χωρητικότητας i. \\
 \(\textbf{Βήμα 2:}\) \\
-Τοποθετούμε τις αρχικές τιμές στον πίνακα, που δε χρειάζονται ιδιαίτερη υπολογιστική διαδικασία. Τα κελιά του πίνακα που μπορούμε να συμπληρώσουμε αμέσως είναι η γραμμή 0, όπου αν δεν έχουμε κανένα αντικείμενο, θα έχουμε 0 τελική αξία και η στήλη 0, όπου αν το σακίδιο έχει μηδενική χωρητικότητα δε μπορούμε να αποθηκεύσουμε κανένα αντικείμενο. \\ 
+Τοποθετούμε τις αρχικές τιμές στον πίνακα, που δε χρειάζονται ιδιαίτερη υπολογιστική διαδικασία. Τα κελιά του πίνακα που μπορούμε να συμπληρώσουμε αμέσως είναι η γραμμή 0, όπου αν δεν έχουμε κανένα αντικείμενο, θα έχουμε 0 τελική αξία και η στήλη 0, όπου αν το σακίδιο έχει μηδενική χωρητικότητα δε μπορούμε να αποθηκεύσουμε κανένα αντικείμενο. \\
 \(\textbf{Βήμα 3:}\) \\
 Υπολογίζουμε την τιμή για το κελι Κ[j][i], λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα κελιά. Υπάρχουν δύο εκδοχές, είτε να τοποθετήσουμε το αντικείμενο j στο σακίδιο, είτε όχι. Αν δεν τοποθετήσουμε το αντικείμενο στο σακίδιο, τότε η μέγιστη τιμή που μπορούμε να λάβουμε στη συγκεκριμένη περίπτωση βρίσκεται  στο Κ[j-1][i]. Αν επιλέξουμε να τοποθετήσουμε το αντικείμενο στο σακίδιο (αυτό σημαίνει ότι τα βάρος του είναι κατάλληλο σε σχέση με τη χωρητικότητα που έχει τη δεδομένη στιγμή το σακίδιο), τότε το κελί Κ[j][i] είναι ίσο με την αξία του αντικειμένου j συν τη μέγιστη αξία που έχει προκύψει από τα προηγούμενα αντικείμενα, που χωρούν να μπούν στο σακίδιο μετά την καταχώρηση του j-οστού αντικειμένου στο σακίδιο. Συμπληρώνουμε όλον τον πίνακα. (Σημείωση: θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε όλη τη χωρητικότητα του σακιδίου ή έστω να κάνουμε όσο καλύτερη δυνατή εκμετάλλευση του χώρου του).  \\
 \(\textbf{Βήμα 4:}\) \\
@@ -186,7 +186,7 @@ \subsection*{3. Give real world applications of knapsack problem.}
 
 \(\bullet\) Η αποθήκευση εμπορευμάτων σε αποθήκες. Ο χώρος της αποθήκης είναι καθορισμένος και δεν μεταβάλλεται και πρέπει σε αυτόν το χώρο να μπορέσουν να χωρέσουν όσο το δυνατό περισσότερα εμπορεύματα. Απλουστεύοντας τα δεδομένα, μπορόυμε να υποθέσουμε ότι περισσότερα προϊόντα στην αποθήκη, σημαίνει αύξηση των κερδών της επιχείρησης. \\
 
-\(\bullet\) Οι κατάλληλες επενδύσεις. Έστω  ότι επιθυμούμε να επενδύσουμε όλα ή ένα  μέρος  από τα κεφάλαια. Έχουμε να επιλέξουμε ανάμεσα  σε κάποιες πιθανές επενδύσεις. Κάθε επένδυση έχει ένα συγκεκριμένο κόστος και ένα αναμενόμενο κέρδος. Η βέλτιστη επιλογή μπορεί να βρεθεί με το πρόβλημα του σακιδίου. \\ 
+\(\bullet\) Οι κατάλληλες επενδύσεις. Έστω  ότι επιθυμούμε να επενδύσουμε όλα ή ένα  μέρος  από τα κεφάλαια. Έχουμε να επιλέξουμε ανάμεσα  σε κάποιες πιθανές επενδύσεις. Κάθε επένδυση έχει ένα συγκεκριμένο κόστος και ένα αναμενόμενο κέρδος. Η βέλτιστη επιλογή μπορεί να βρεθεί με το πρόβλημα του σακιδίου. \\
 
 \(\bullet\) Η επιλογή υπαλλήλων για μία επιχείρηση. Υπάρχουν πολλοί εν δυνάμει υπάλληλοι, με διαφορετικές ικανότητες, ταλέντα, γνώσεις, πτυχία και πιστοποιήσεις, αλλά ταυτόχρονα και με διαφορετικές μισθολογικές απαιτήσεις. Η επιχείρηση είναι σε θέση να διαθέτει ένας συγκεκριμένο ποσό για μισθοδοσίες και μπορεί να παρέχει καθορισμένες παροχές στους εργαζομένους της (π.χ. κτηριακές υποδομές). Ποιά είναι η καλύτερη επιλογή εργαζομένων, ώστε η επιχείρηση να αυξήσει τα κέρδη της; \\
 
@@ -196,7 +196,7 @@ \subsection*{3. Give real world applications of knapsack problem.}
 
 \begin{figure}[!]
 	\centering
-	\includegraphics[scale=0.65]{./knapsack-example.png}
+	\includegraphics[scale=0.65]{./figures/knapsack-example.png}
 	\caption{Μόνο με χιουμοριστική διάθεση..}
 \end{figure}
 
@@ -212,24 +212,24 @@ \subsection*{4. Define the Subset sum problem and give a dynamic programming sol
 
 Το Subset sum problem ή αλλιώς Value Independent Knapsack Problem ή Stickstacking Problem μπορεί να θεωρηθεί στιγμιότυπο του 0-1 Knapsack problem. Πρέπει να επιλέξουμε ένα υποσύνολο βαρών, τέτοιο ώστε το άθροισμά τους να είναι το μεγαλύτερο δυνατό και ταυτόχρονα να μην υπερβαίνει τη χωρητικότητα του σακιδίου. \\ \\
 
-Έστω ότι έχουμε n αντικείμενα συνολικά και ένα σακίδιο χωρητικότητας C. Κάθε αντικείμενο j έχει βάρος \(w_{j}\). Στόχος είναι να επιλεγεί ένα υποσύνολο αντικειμένων τέτοιο ώστε το συνολικό βάρος τους να είναι ίσο ή να μη ξεπερνά τη χωρητικότητα του σακιδίου. \\ \\ 
+Έστω ότι έχουμε n αντικείμενα συνολικά και ένα σακίδιο χωρητικότητας C. Κάθε αντικείμενο j έχει βάρος \(w_{j}\). Στόχος είναι να επιλεγεί ένα υποσύνολο αντικειμένων τέτοιο ώστε το συνολικό βάρος τους να είναι ίσο ή να μη ξεπερνά τη χωρητικότητα του σακιδίου. \\ \\
 
 Η μαθηματική μοντελοποίηση όσων αναφέραμε είναι: \\
 
 \begin{align*}
 	\max \sum_{j=1}^{n}{w_{j}x_{j}}
-\end{align*} 
+\end{align*}
 
 υπό τον περιορισμό:
 
 \begin{align*}
 	\sum_{j=1}^{n}{w_{j}x_{j}} \leq C
 \end{align*}
 
-με 
+με
 
- \[ x_{j} = 
-\begin{cases} 
+ \[ x_{j} =
+\begin{cases}
 1 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο τοποθετηθεί στο σακίδιο} \\
 0 & \text{αν το j-οστό αντικείμενο ΔΕΝ τοποθετηθεί στο σακίδιο}
 \end{cases}
@@ -241,7 +241,7 @@ \subsection*{4. Define the Subset sum problem and give a dynamic programming sol
 w_{j} \geq 0 \\
 C \geq 0 \\
 w_{j} \leq c \\
-\sum_{j=1}^{n} w_{j} \geq C 
+\sum_{j=1}^{n} w_{j} \geq C
 \end{align*}
 
 Ουσιαστικά, το Subset sum problem είναι ειδική περίπτωση του 0-1 Knapsack problem. Το 0-1 Knapsack problem γίνεται Subset sum problem αν η "αξία" στην περίπτωση του 0-1 Knapsack problem είναι ταυτόσημη με το βάρος του  του j-οστού αντικειμένου, \(p_{j} = w_{j}, \forall j\). \\ \\
@@ -251,9 +251,9 @@ \subsection*{4. Define the Subset sum problem and give a dynamic programming sol
 \(\textbf{Βήμα 1:}\) \\
 Κατασκευάζουμε έναν πίνακα \((n+1) \times (c+1)\), στον οποίο καταχωρίζουμε true ή false. Η γραμμή j υποδηλώνει ότι έχουμε στη διάθεσή μας μόνο τους αριθμούς 1,...,j. Η στήλη i υποδηλώνει ότι θέλουμε να επιτύχουμε άθροισμα i. Συνεπώς, αν ονομάζουμε τον πίνακα Κ, τότε το Κ[j][i] στοιχείο του πίνακα δηλώνει αν μπορούμε ή όχι να επιτύχουμε άθροισμα ίσο με i, με διαθέσιμους προσθεταίoυς τους αριθμους 1,...,j. \\
 \(\textbf{Βήμα 2:}\) \\
-Τοποθετούμε τις αρχικές τιμές στον πίνακα, που δε χρειάζονται ιδιαίτερη υπολογιστική διαδικασία. Τα κελιά του πίνακα που μπορούμε να συμπληρώσουμε αμέσως είναι εκείνα της γραμμής 0,με false, καθώς αν δεν έχουμε κανέναν διαθέσιμο αριθμό, δε μπορούμε να επιτύχουμε άθροισμα και της στήλης 0, με true, αφού το άθροισμα του κενού υποσυνόλου είναι 0. \\ 
+Τοποθετούμε τις αρχικές τιμές στον πίνακα, που δε χρειάζονται ιδιαίτερη υπολογιστική διαδικασία. Τα κελιά του πίνακα που μπορούμε να συμπληρώσουμε αμέσως είναι εκείνα της γραμμής 0,με false, καθώς αν δεν έχουμε κανέναν διαθέσιμο αριθμό, δε μπορούμε να επιτύχουμε άθροισμα και της στήλης 0, με true, αφού το άθροισμα του κενού υποσυνόλου είναι 0. \\
 \(\textbf{Βήμα 3:}\) \\
-Υπολογίζουμε την τιμή για το κελι Κ[j][i], λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα κελιά. Υπάρχουν δύο εκδοχές, είτε να τοποθετήσουμε στο υποσύνολο των προσθεταίων τον αριθμό j, είτε όχι. Αν υπάρχει υποσύνολο ακεραίων από το 1 ως το j-1, τέτοιο ώστε \(\sum_{k=1}^{j-1}k = i\), τότε στο κελί Κ[j][i] τοποθετούμε true, αλλιώς τοποθετούμε false. \\ 
+Υπολογίζουμε την τιμή για το κελι Κ[j][i], λαμβάνοντας υπόψη τα προηγούμενα κελιά. Υπάρχουν δύο εκδοχές, είτε να τοποθετήσουμε στο υποσύνολο των προσθεταίων τον αριθμό j, είτε όχι. Αν υπάρχει υποσύνολο ακεραίων από το 1 ως το j-1, τέτοιο ώστε \(\sum_{k=1}^{j-1}k = i\), τότε στο κελί Κ[j][i] τοποθετούμε true, αλλιώς τοποθετούμε false. \\
 \(\textbf{Βήμα 4:}\) \\
 Η τελική απάντηση στο Subset sum problem βρίσκεται στη θέση Κ[n+1][c+1].
 
@@ -269,7 +269,7 @@ \subsection*{References:}
 
 3. "How to solve the Knapsack Problem with dynamic programming",  https://medium.com/@fabianterh/how-to-solve-the-knapsack-problem-with-dynamic-programming-eb88c706d3cf \\ \\
 
-4. "Subset sum problem", https://en.wikipedia.org/wiki/Subset\_sum\_problem \\ \\ 
+4. "Subset sum problem", https://en.wikipedia.org/wiki/Subset\_sum\_problem \\ \\
 
 5. "Subset Sum Problem using Dynamic Programming (O(N*sum) time complexity)", https://iq.opengenus.org/subset-sum-problem-dynamic-programming/ \\ \\
 

Homework_6/knapsack_problem.png renamed to Homework_6/figures/knapsack_problem.png

@@ -10,6 +10,7 @@
 * [Homework 3](Homework_3/homework.pdf)
 * [Homework 4](Homework_4/homework.pdf)
 * [Homework 5](Homework_5/homework.pdf)
+* [Homework 6](Homework_6/homework.pdf)
 
 ## Presentation Topic